平均積分二乗誤差及びコスト関数の導入

スパイク時系列のレート$\lambda_t$とヒストグラムの当てはまりの良さは平均積分二乗誤差(Mean Integrated Squared Error, MISE)で評価する. 十分長い定常なスパイク時系列が与えられた場合MISEは次式で与えられる.

$$\mathcal{E} = \left\langle {E_{\Lambda} \left[ {\frac{1}{\De... ...\lambda _t - \hat \Lambda } \,)^2 dt} } \right]} \right\rangle$$ (3)

ここで $\left\langle \, \cdot \, \right\rangle$はレート過程$\lambda_t$の経路によるアンサンブル平均を意味し, $E_{\Lambda}\left[ \,\cdot \, \right]$はレート$\lambda_t$の区間幅$\Delta$内での時間平均が$\Lambda$である場合のスパイク数の条件付き確率分布(式2)による平均操作を表す.

MISEを区間幅$\Delta$内でのレートのゆらぎとスパイク生成のゆらぎに分割し, さらに区間幅$\Delta$の選択に依らない項を除いたコスト関数を導入することができる.

$$C(\Delta) \equiv \mathcal{E} - \left\langle {\left( {\lambda _t - \langle\Lambda\rangle } \right)^2 } \right\rangle$$

$$= \left\langle E_{\Lambda} \left[ (\hat \Lambda - \Lambda)^2 \right... ...left\langle {\left( {\Lambda - \langle\Lambda\rangle} \right)^2 } \right\rangle$$ (4)

式4は$\Lambda$の分散を第２項に含んでいるので, 観測量のみからなる式に書き直し次式を得る.

$$C\left( \Delta \right) = 2 \left\langle E_{\Lambda} \left[ (... ... \Lambda - \langle \Lambda \rangle } )^2 \right] \right\rangle$$ (5)

ヒストグラムの最適区間幅決定の手順を以下にまとめ, 図1-aに(i)-(iv)の手順から得られたコスト関数を示す.

[

c]最適区間幅決定のレシピ (i) 観測時間$T$, 試行回数$n$のスパイク時系列を区間幅$\Delta$で $N=\left\lfloor {T/\Delta} \right\rfloor$個に分割する. $i$番目の区間に入るスパイクの数を数え$k_i$とする.
(ii) スパイク数の標本平均 $\bar k = {\textstyle{1 \over N}}\sum\nolimits_{i = 1}^N {k_i }$, 及び不偏分散 $s^2 = {\textstyle{1 \over {N - 1}}}\sum\nolimits_{i = 1}^N {\left( {k_i - \bar k} \right)} ^2$を計算する.
(iii)スパイク統計量$\bar k$, $s^2$からコスト関数(式5),

$$C\left( \Delta \right) = \frac{2 \bar{k} - s^2}{(n \Delta)^2 }$$ (6)

を計算する.
(iv) 異なる$\Delta$に対して(i)から(iii)を繰り返しコスト関数の最小値を与える$\Delta$を探す.