最適区間幅の理論値のスケーリング則と発散

式4の第一項にCramér-Raoの不等式を適用することで, コスト関数の下限が$\Lambda$の統計量で与えられる.

$$C\left( \Delta \right) \ge %\frac{E\Lambda}{n \Delta} - \rm ... ...( {\Lambda - \langle\Lambda\rangle} \right)^2 } \right\rangle$$ (7)

右辺の極値を考えることで, レートが平均$\mu$, 相関関数$\phi(t)$なる定常確率過程について最適幅の解析解が求まる.

$n$が十分大きい場合, $\phi(t)$の原点付近での展開式を用いて式7右辺の極値を与える$\Delta$を求める. $\phi(t)$が原点でCusp型となるときは漸近値$\phi'(0+)$を用いて最適幅は $\Delta ^ * \sim \sqrt {{{ - 3\mu } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 3\mu } {\ph... ...ight)n}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\phi '\left( {0 + } \right)n}}}$で与えられる. $\phi(t)$が原点でなめらかなときは対称性から$\phi'(0)=0$であり, 最適幅は $\Delta ^ * \sim \left( {{{ - 6\mu } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 6\mu } {\p... ...{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 3}}$となる.

$n$が小さい転移点付近では $\langle ( \Lambda - \langle\Lambda\rangle )^2 \rangle \simeq \mu/n_c (1/\Delta) - u (1/\Delta)^2 + O\left( (1/\Delta)^3 \right)$と展開する($n_c$, $u$は定数). このとき臨界点は$n_c$でありランダウの２次相転移の理論が適用できる. $n>n_c$では最適幅の振る舞いは $\Delta^* \sim n n_c / (n-n_c)$で表される.