Power Point ed.

Spike Density Estimation

- Histogram Method

- Kernel Method

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Subsections

定常ポアソン過程

指数分布

確率変数が確率密度関数 (probability density function ) $f\left( x\right) =\lambda e^{-\lambda x}$ （ただしは非負の実数）に従うときに，は指数分布に従うという．指数分布は記憶のない分布と言われる (無記憶性: Memorylessness, memoryless property)．ここで記憶がないとは $s,t\geq0$ に対して

$\displaystyle P\left( X>s+t\vert X>t\right) =P\left( X>s\right)%$

(1.1)

が成り立つことを言う．例として数年前に買った冷蔵庫を考えてみよう．購入当初は順調に稼動していた冷蔵庫もやがて古くなりいつかは壊れてしまうだろう．ここで冷蔵庫が壊れるまでの耐久年数の分布が無記憶性を持つとしよう．購入した冷蔵庫は

年経った現在も順調に動いている．さて，この冷蔵庫はあと何年もつだろうか．冷蔵庫の寿命を

とすると

年間稼働実績があり，さらに今後

年稼働する確率は条件付き確率 $P\left(X>s+t\vert X>t\right)$ で表すことができる．ところが無記憶性1.1を使えば，この条件付き確率は $P\left(X>s\right)$ で与えられる．つまり過程が無記憶性を有するとは，

年間冷蔵庫が稼動していたことがこれから先に起こる故障の予測になんの情報ももたらさないことを意味する.

それではどのような分布が記憶なしの特徴を持つのかを考えてみよう．条件付分布は次のように表すことができる.

$\displaystyle P\left( X>s+t\vert X>t\right)$	$\displaystyle =\frac{P\left( X>s+t,X>t\right) }{P\left( X>t\right) }$
	$\displaystyle =\frac{P\left( X>s+t\right) }{P\left( X>t\right) }$

これを1.1に代入して

$\displaystyle P\left( X>s+t\right) =P\left( X>s\right) P\left( X>t\right)$

なる関係式を得る．指数分布関数

$\displaystyle P\left( X>x\right) =e^{-\lambda x}$

がこの性質を満たすことはすぐにわかる．したがって指数密度分布

$\displaystyle f\left( x\right) =\lambda e^{-\lambda x}$

(1.2)

は記憶なしの特徴を持つ分布であることがわかる．記憶なしの特徴を持つ連続確率分布は指数分布のみである．

イベントの間隔が指数分布に従う過程を定常ポアソン過程という（一様ポアソン過程，homogeneous Poisson processとも呼ぶ）．ポアソン過程とは記憶のない事象の生成過程であり，地震学・疫学・金融工学・保険数学など，イベント（地震・出生死亡・債務不履行・事故等）を解析する幅広い分野で基本となる確率過程である．神経科学における神経細胞のスパイク発火活動を表現する上でも基本的な役割を果たす．以下ではイベントのことをスパイクと表現する．

一定時間内のスパイクの個数（ポアソン分布）

スパイク間隔の分布が指数分布1.2に従う場合に，秒間の間に生じるスパイクの個数 $N_{T}$ の分布を求めよう．始めにひとつもスパイクが生じない確率を求める．これは一つ目のスパイク間隔がより大きいことを意味するから生存関数で与えられる.

$\displaystyle P\left( N_{T}=0\right) =\bar{F}\left( T\right) =e^{-\lambda T}%$

次に一つのスパイク（ $N_{T}=1$ ）が生じる確率を求める．一つ目のスパイク間隔を $s_{1}$ とすると，二つ目のスパイク間隔は $T-s_{1}$ より大きい必要がある．この確率は

	$\displaystyle = P\left( s_1 < X_1 < s_1 + ds_1 \right) P\left( X_2 > T \right)$
	$\displaystyle = f(s_1) ds_1 \bar{F}\left(T-s_{1}\right)$

$s_{1}$ は

の範囲を取りうるからすべての可能性を尽くして

$\displaystyle P\left( N_{T}=1\right)$	$\displaystyle =\int_{0}^{T}f\left( s_{1}\right) \bar{F}\left( T-s_{1}\right) ds_{1}$
	$\displaystyle =\int_{0}^{T}\lambda e^{-\lambda s_{1}}e^{-\lambda\left( T-s_{1}\right) }ds_{1}$
	$\displaystyle =\lambda Te^{-\lambda T}%$

同様にして，二つのスパイク（ $N_{T}=2$ ）が生じる場合は２回目のスパイク時刻を

として

$\displaystyle P\left( N_{T}=2\right)$	$\displaystyle =\int_{0}^{T}ds_{1}\int_{s_{1}}^{T}ds_{2}f\left( s_{1}\right) f\left( s_{2}-s_{1}\right) \bar{F}\left( T-s_{2}\right)$
	$\displaystyle =\int_{0}^{T}ds_{1}\int_{s_{1}}^{T}ds_{2}\lambda e^{-\lambda s_{1... ...ambda e^{-\lambda\left( s_{2}-s_{1}\right) }e^{-\lambda\left( T-s_{2}\right) }$
	$\displaystyle =\int_{0}^{T}ds_{1}\lambda^{2}e^{-\lambda T}\left( T-s_{1}\right)$
	$\displaystyle =\frac{1}{2}\left( \lambda T\right) ^{2}e^{-\lambda T}%$

これを繰り返すと一般にスパイク数の分布は

$\displaystyle P\left( N_{T}=n\right) =\frac{1}{n!}\left( \lambda T\right) ^{n}% e^{-\lambda T}%$

(1.3)

となる．この分布をポアソン分布と呼ぶ．より正確な導出は後で述べる．

**ゾ 1.1:** 繝昴Ρ繧ス繝ウ蛻�ク $\lambda =1,3,5$
$\includegraphics[width=1\columnwidth]{graphics/book__1.eps}$

問題 1 ポアソン分布の平均および分散が $\lambda T$ になることを確かめよ.

問題 2 ポアソン分布の特性関数が次式で表されることを導け.

$\displaystyle f^{\ast}\left( u\right) =\exp\left[ \lambda\left( e^{iu}-1\right) \right]$

(1.4)

解法 3 指数関数の定義 $\exp\left[ x\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$ を用いる．

$\displaystyle f^{\ast}\left( u\right)$	$\displaystyle =E\left[ e^{-iun}\right] =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda}\lambda^{n}}{n!}e^{-iun}$
	$\displaystyle =e^{-\lambda}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left[ e^{-iu+\ln\lambda}\right] ^{n}}{n!} =e^{-\lambda}\exp\left[ e^{-iu+\ln \lambda}\right]$
	$\displaystyle =\exp\left[ \lambda\left( e^{iu}-1\right) \right]$

問題 4 特性関数を用いてポアソン分布の平均と分散を求めよ．

一定スパイク数の待ち時間（アーラン分布）

記憶なしの特徴を持つスパイクが回起こるまでの時間が秒となる確率を計算しよう．の場合に指数分布になることは見た．そこで次にの場合，２回目のスパイクの時刻がとなる確率を考える．１回目のスパイクが起こる時刻を $s_{1}$ とすると，その確率密度は $f\left(s_{1}\right)$ で与えられる．２回目のスパイクがで生じる確率密度は $s_{1}$ は $f\left(T-s_{1}\right)$ である．二つの事象は独立だから，２つのスパイクが起こるまでの時間がである確率 $f\left(s_{1}\right) f\left(T-s_{1}\right) ds_1$ になる． $s_{1}$ はのどれを取ることもできるから，すべての可能性の和をとって

$\displaystyle f_2\left( T\right)$	$\displaystyle =\int_{0}^{T}ds_{1}f\left( s_{1}\right) f\left( T-s_{1}\right)$
	$\displaystyle =\int_{0}^{T}ds_{1}\lambda e^{-\lambda s_{1}}\lambda e^{-\lambda\left( T-s_{1}\right) }$
	$\displaystyle =\lambda^{2}Te^{-\lambda T}$

となる．同様にして

の場合は２回目のスパイク時刻を

として

$\displaystyle f_3(T)$	$\displaystyle =\int_{0}^{T}ds_1 \int_{s_1}^{T}ds_{2}f\left(s_1\right) f\left(s_2 - s_1\right) f\left(T-s_2\right)$
	$\displaystyle =\int_{0}^{T}ds_1 \int_{s_1}^{T}ds_2\lambda e^{-\lambda s_1}\lambda e^{-\lambda (s_2-s_1)}\lambda e^{-\lambda\left(T-s_2\right) }$
	$\displaystyle =\lambda^{3}e^{-\lambda T}\int_{0}^{T}ds_1 \left(T-s_1 \right)$
	$\displaystyle =\frac{1}{2}\lambda^{3}T^{2}e^{-\lambda T}$

である．これを繰り返せば一般に

回のスパイクが生じるまでの時間の確率密度であるアーラン分布

$\displaystyle f_n\left( T\right) =\frac{1}{\left( n-1\right) !}\lambda^{n}T^{n-1}e^{-\lambda T}$

(1.5)

が導かれる．この分布は帰納法を用いて証明することができるから自分でやってみるとよい．アーラン分布の平均は $n/\lambda$ ，分散は $n/\lambda^{2}$ である．今の場合，

が整数なのでアーラン分布（Erlang distribution）と呼ばれる．

を実数 $\kappa$ に拡張した分布はガンマ分布(Gamma distribution)という．

問題 5 帰納法を用いてn回のスパイクが生じるまでの時間の確率密度がアーラン分布に従うことを証明せよ．

解法 6 $f_{n}$ が式1.5で与えられると仮定して，回のスパイクが生じる確率密度関数は

$\displaystyle \int_0^T f_n \left(s \right) f_1 \left(T-s \right) ds$	$\displaystyle = \int_0^T \frac{1}{\left( n-1\right) !}\lambda^{n}s^{n-1}e^{-\lambda s} \lambda e^{-\lambda \left(T -s \right)} ds$
	$\displaystyle = \frac{1}{\left( n-1\right) !}\lambda^{n} \lambda e^{-\lambda T } \int_0^T s^{n-1} ds$
	$\displaystyle = \frac{1}{\left( n-1\right) !}\lambda^{n} \lambda e^{-\lambda T } \frac{1}{n} T^{n}$
	$\displaystyle = \frac{1}{n!}\lambda^{n+1} T^{n} e^{-\lambda T }$

これは $f_{n+1} \left( T \right)$ に他ならない．

問題 7 アーラン分布を指数分布のラプラス変換を用いて求めよ．

解法 8 まずアーラン分布のラプラス変換 $G_{n}^{\ast}\left( s\right)$ を求めておくと

$\displaystyle G_{n}^{\ast}\left( s\right)$	$\displaystyle =\int_{0}^{\infty}\frac{\lambda^{n}}% {\Gamma\left( n\right) }t^{n-1}e^{-\lambda t}e^{-st}dt$
	$\displaystyle =\frac{\lambda^{n}}{\Gamma\left( \alpha\right) }\int_{0}^{\infty}% t^{n-1}e^{-\left( \lambda+s\right) t}dt$

$u=\left( \lambda+s\right) t$ とおいて，

$\displaystyle G_{\alpha}^{\ast}\left( s\right)$	$\displaystyle =\frac{\lambda^{n}}{\Gamma\left( n\right) }\int_{0}^{\infty}\left( \frac{u}{\lambda+s}\right) ^{n-1}e^{-u}\frac{du}{\lambda+s}$
	$\displaystyle =\left( \frac{\lambda}{\lambda+s}\right) ^{n}\frac{1}{\Gamma\left( \alpha\right) }\int_{0}^{\infty}u^{n-1}e^{-u}du$
	$\displaystyle =\left( \frac{\lambda}{\lambda+s}\right) ^{n}$

次に，独立な確率変数の和 $X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}$ の特性関数 $f_{n}^{\ast}\left( s\right)$ は

$\displaystyle f_{n}^{\ast}\left( s\right)$	$\displaystyle =E\left[ \exp\left\{ -s\left( X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}\right) \right\} \right]$
	$\displaystyle =E\left[ e^{-sX_{1}}\right] E\left[ e^{-sX_{2}}\right] \cdots E\left[ e^{-sX_{1}}\right]$
	$\displaystyle =f^{\ast}\left( x_{1}\right) f^{\ast}\left( x_{2}\right) \cdots f^{\ast}\left( x_{n}\right)$

分布が同一の場合(i.i.d.)は

$\displaystyle f_{n}^{\ast}\left( s\right) =\left\{ f_{1}^{\ast}\left( s\right) \right\} ^{n}$

例えば， $f_{1}^{\ast}\left( s\right)$ が指数分布の場合は

$\displaystyle f_{n}^{\ast}\left( s\right) =\left( \frac{\lambda}{\lambda+s}\right) ^{n}%$

逆ラプラス変換するとアーラン分布

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left[ f_{n}^{\ast}\left( s\right) \right] =\frac{\lambda^{n}}% {\Gamma\left( n\right) }t^{n-1}e^{-\lambda t}%$

になる．

アーラン分布とポアソン分布の関係

**ゾ 1.2:** 繧ケ繝代う繧ッ謨ー縺ィ繧ケ繝代う繧ッ髢馴囈縺ョ髢「菫/CAPTION>
$\includegraphics[width=1\columnwidth]{fig/count_and_isi_statistics.eps}$

篁は逆に秒間に生じるスパイクの個数の分布を調べてみよう．このためにはスパイク間隔とスパイク個数の関係を定義する必要がある． $N_{T}$ を時刻0 からまでのスパイクの個数， $S_{n}$ を第番目のスパイクまでの時間とする．今，が $S_{n}$ より長い時間だったとしよう（ $S_{n}>T$ ）．このとき時刻までに含まれるスパイクの数は高々個である（図参照）．このことから次の関係が成り立つ．

$\displaystyle P\left( N_{T}<n\right) =P\left( S_{n}>T\right)%$

(1.6)

右辺は

回のスパイクが生じるまでの待ち時間が

秒以上である確率，すなわちアーラン分布の生存関数で

$\displaystyle P\left( S_{n}>T\right)$	$\displaystyle =\int_{T}^{\infty}\frac{1}{\left( n-1\right) !}\lambda^{n}t^{n-1}e^{-\lambda t}dt$
	$\displaystyle =\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\left( \lambda T\right) ^{k}}{k!}e^{-\lambda T}%$

これは部分積分を用いて求めることができるから自分で求めてみるとよい．従ってスパイク数の累積分布関数は1.6に代入して

$\displaystyle P\left( N_{T}<n\right) =\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\left( \lambda T\right) ^{k}}{k!}e^{-\lambda T}$

時刻tまでのスパイクの個数が

である確率は $P\left( N_{T}=n\right) =P\left( N_{T}<n+1\right) -P\left( N_{T}<n\right)$ である．これを用いれば

$\displaystyle P\left( N_{T}=n\right) =\frac{\left( \lambda T\right) ^{n}}{n!}e^{-\lambda T}$

(1.7)

となり，再びポアソン分布が得られる．

問題 9 アーラン分布 $f_{n}$ を用いて秒間の間に生じるスパイクの個数 $N_{T}$ がポアソン分布に従うことを示せ．

解法 10 回のスパイクが秒以内に生じる確率は ( )．さらに回目のスパイクが秒後に生じる確率は $\overline{F} \left(T-s \right)$ だから

$\displaystyle \int_0^T f_n \left(s \right) \overline{F} \left(T-s \right) ds$	$\displaystyle = \int_0^T \frac{1}{\left( n-1\right) !}\lambda^{n}s^{n-1}e^{-\lambda s} e^{-\lambda \left(T -s \right)} ds$
	$\displaystyle = \frac{1}{\left( n-1\right) !}\lambda^{n} e^{-\lambda T } \int_0^T s^{n-1} ds$
	$\displaystyle = \frac{1}{n!} \left(\lambda T\right)^{n} e^{-\lambda T }.$

瞬間スパイク生成率によるポアソン過程の定義

ここまで無記憶性から導かれる指数分布をもとに定常ポアソン過程の性質を見てきた．1.1.2では指数分布からポアソン分布を，1.1.3及び1.1.4では指数分布からアーラン分布を経てポアソン分布を求めた．この節ではスパイクの瞬間発生率 $\lambda\left[\text{spike}/s\right]$ を出発点としてポアソン過程を定義する．

定義 11 微小区間内のイベント生成確率が次のように与えられるとき，そのイベント生成過程をポアソン過程と言う．

	$\displaystyle P\left(\textrm{one spike in}\left[t,t+\Delta\right)\right)=\lambda\Delta+o\left(\Delta\right)$
	$\displaystyle P\left(\textrm{more than one spike in}\left[t,t+\Delta\right)\right)=o\left(\Delta\right)$
	$\displaystyle P\left(\textrm{no spike in}\left[t,t+\Delta\right)\right)=1-\lambda\Delta+o\left(\Delta\right)$	(1.8)

ここで $o\left(\Delta\right)$ は $\Delta$ を小さくすると線形項 $\lambda \Delta$ に比べて無視できるほど小さくなる関数である（ $\lim_{\Delta\rightarrow 0}o\left(\Delta\right)/\Delta=0$ ）．同じ $o\left(\Delta\right)$ が異なる式で使われているが，この性質を満たす関数の意であって全く同じ関数を指しているわけではない．

実際にこれまでのポアソン過程の定義に従って微小区間 $\Delta$ に入るスパイクの数を考えてみよう．時刻を十分に小さな幅 $\Delta$ の区間によって $N=\Delta/T$ 個に分ける．ポアソン過程では区間 $\Delta$ 内の生成スパイク個数の確率は平均 $\lambda \Delta$ のポアソン分布で与えられた．この確率を微小量 $\lambda \Delta$ で展開しよう．

$\displaystyle p\left(N_{\Delta}=n\right)=\frac{\left(\lambda\Delta\right)^{n}}{... ...!}\left[1-\lambda\Delta+\frac{1}{2}\left(\lambda\Delta\right)^{2}+\cdots\right]$

(1.9)

ここでスパイクが生じない確率と少数スパイクの生成確率を考えると

$\displaystyle p\left(N_{\Delta}=0\right)$	$\displaystyle =1\left[1-\lambda\Delta+\frac{1}{2}\left(\lambda\Delta\right)^{2}+\cdots\right]=1-\lambda\Delta+o\left(\Delta\right)$
$\displaystyle p\left(N_{\Delta}=1\right)$	$\displaystyle =\left(\lambda\Delta\right)\left[1-\lambda\Delta+\frac{1}{2}\left(\lambda\Delta\right)^{2}+\cdots\right]=\lambda\Delta+o\left(\Delta\right)$
$\displaystyle p\left(N_{\Delta}=2\right)$	$\displaystyle =\left(\lambda\Delta\right)^{2}\left[1-\lambda\Delta+\frac{1}{2}\left(\lambda\Delta\right)^{2}+\cdots\right]=o\left(\Delta\right)$	(1.10)

従ってポアソン過程であれば式

を満たす．また次に示すように式

による定義からポアソン分布・指数分布が導かれ，ポアソン過程の性質を満たしていることがわかる．

ここでポアソン過程とベルヌーイ過程との違いを述べておく．ベルヌーイ過程とは二値を取る独立な確率変数列からなる離散時間の確率過程である．スパイク時系列をベルヌーイ過程でモデル化した場合，離散微小区間内にスパイクが生成されるか否かの二者択一となり，その確率はそれぞれ $P\left(\textrm{one spike in}\left[t,t+\Delta\right)\right)=\lambda\Delta$ , $P\left(\textrm{no spike in}\left[t,t+\Delta\right)\right)=1-\lambda\Delta$ で与えられる．このとき回の試行に回のスパイクが含まれる確率は二項分布(Binomial distribution)で与えられる．また最初の回にスパイクが生成せず，回目の試行でスパイクが生成する確率は幾何分布（Geometric distribution）で与えられる．つまり連続時間でのカウント分布であるポアソン分布と待ち時間分布である指数分布のそれぞれに対応して二項分布と幾何分布が得られる．連続分布で無記憶性を持つ分布が唯一指数分布であったのと同じように，離散分布で無記憶性を持つ分布は幾何分布のみである．

指数分布の導出

時刻

（

番目のビン）までスパイクが起こらず，時刻

（

番目のビン）においてスパイクが生じる確率は，定義

に従えば，

$\displaystyle P(x<T<x+\Delta) = \left( 1-\lambda\Delta\right)^{N-1}\lambda \Delta + o\left(\Delta\right).$

(1.11)

で与えられる．これは幾何分布による近似式である．この式を次のように変形する．

$\displaystyle P(x<T<x+\Delta) = \left( 1-\lambda\Delta\right) ^{N}\frac{\lambda\Delta}{1-\lambda \Delta} + o\left(\Delta\right).$

(1.12)

ここで $\left\vert x\right\vert <1$ に対する公式

$\displaystyle \log\left( 1-x\right) =-x-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x^{3}\cdots$

及び

$\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}\cdots$

を思い出せば，第一成分は十分に小さな $\Delta$ でに対して

$\displaystyle \left( 1-\lambda\Delta\right) ^{N}$	$\displaystyle =\exp\left[ N\log\left\{ 1-\lambda\Delta\right\} \right]$
	$\displaystyle =\exp\left[ N\left\{ -\lambda\Delta-\frac{1}{2}\left( \lambda \Delta\right) ^{2}+\cdots\right\} \right]$
	$\displaystyle \simeq \exp\left[ -\lambda T\right]$

より簡単な求め方として

$\displaystyle \lim_{\Delta\rightarrow0}\left( 1-\lambda\Delta\right) ^{N}=\lim _{N\rightarrow\infty}\left( 1-\lambda T\frac{1}{N}\right) ^{N}=e^{-\lambda T}%$

としてもよい．第二成分は

$\displaystyle \frac{\lambda\Delta}{1-\lambda\Delta}$	$\displaystyle =\lambda\Delta\left\{ 1+\lambda\Delta+\left( \lambda\Delta\right) ^{2}+\cdots\right\}$
	$\displaystyle \simeq \lambda\Delta$

となる．

以上より

$\displaystyle P(x<T<x+\Delta) \sim \exp\left[ -\lambda T\right] \lambda \Delta + o\left(\Delta\right)$

よって指数密度関数が得られる．

$\displaystyle f\left(T\right) = \lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{P(x<T<x+\Delta)}{\Delta} = \lambda e^{-\lambda T}%$

この導出法は一般点過程の考察でも重要になってくる．瞬間スパイク生成率を $\lambda$ として出発し，瞬間スパイク発火率 $\lambda$ に従うスパイク時系列のスパイク密度分布は平均 $1/\lambda$ の指数分布になることがわかった．

ポアソン分布の導出

瞬間スパイク生成率から直接にポアソン分布を求めることもできる．個の区間のうち個にスパイクが生じる確率を二項分布で近似する．

$\displaystyle p\left( N_{T}=n\right)$	$\displaystyle \simeq \left( \begin{array}[c]{c} N\\ n \end{array} \right) \left( \lambda\Delta\right) ^{n}\left( 1-\lambda\Delta\right) ^{N-n}$
	$\displaystyle =\frac{N!}{n!\left( N-n\right) !}\left( \frac{\lambda\Delta}% {1-\lambda\Delta}\right) ^{n}\left( 1-\lambda\Delta\right) ^{N}$
	$\displaystyle \simeq \frac{N!}{\left( N-n\right) !}\frac{1}{n!}\left( \lambda \Delta\right) ^{n}\exp\left( -\lambda T\right)$
	$\displaystyle =\frac{N!}{N^{n}\left( N-n\right) !}\frac{1}{n!}\left( \lambda T\right) ^{n}\exp\left( -\lambda T\right)$
	$\displaystyle \rightarrow\frac{\left( \lambda T\right) ^{n}}{n!}\exp\left( -\lambda T\right)$

ただし最後のステップでは，スターリンの公式 $\ln N!\sim N\ln N-N$ を使って

$\displaystyle \ln\frac{N!}{N^{n}\left( N-n\right) !}$	$\displaystyle =\ln N!-n\ln N-\ln\left( N-n\right) !$
	$\displaystyle \sim N\ln N-N-n\ln N-\left( N-n\right) \ln\left( N-n\right) +\left( N-n\right)$
	$\displaystyle = - \left( 1-\frac{n}{N}\right) \ln\left( 1-\frac{n}{N}\right) ^{N}-n$
	$\displaystyle \rightarrow -1\cdot\ln e^{-n}-n$
	$\displaystyle =0$

を用いた．なおスターリンの公式はラプラス近似（鞍点法）を用いて求めることができる．

ポアソン過程の尤度関数

ポアソン過程ではイベント間隔が独立に指数分布に従う．従って時刻 $t_{1},\ldots,t_{n}$ でスパイクが観測される確率は

$\displaystyle p\left(t_{1},\ldots,t_{n}\cap N_{T}=n\right)\Delta^{n}$	$\displaystyle =f\left(t_{1}\right)\Delta\prod_{i=2}^{n}f\left(t_{i}-t_{i-1}\right)\Delta\overline{F}\left(T-t_{n}\right)$
	$\displaystyle =\lambda e^{-\lambda t_{1}}\Delta\prod_{i=2}^{n}\lambda e^{-\lambda\left(t_{i}-t_{i-1}\right)}e^{-\lambda\left(T-t_{i}\right)}$
	$\displaystyle =\lambda^{n}e^{-\lambda T}\Delta^{n}$	(1.13)

これよりポアソン過程の尤度関数（likelihood function）は次式で与えられる．

$\displaystyle p\left(t_{1},\ldots,t_{n}\cap N_{T}=n\right)=\lambda^{n}e^{-\lambda T}$

(1.14)

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