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(2.6) |
は条件付強度関数(conditional intensity function)と呼ばれる.強度関数は一般には過去のスパイク発火の履歴に依存する.強度関数が時刻
の関数でないときは,その点過程は定常であるという.時刻に依存する場合は非一様過程である.強度関数が与えられればその点過程の統計的性質はすべて決まる.強度関数が時刻と履歴の何れにもに依存しない場合,
であり,一様ポアソン過程(homogeneous Poisson point
process)と呼ばれる.強度関数が時刻に依存し,スパイク履歴には依存しない場合,
であり,非一様ポアソン過程(inhomogeneous Poisson
point process),あるいは時間依存ポアソン過程(time-dependent Poisson
point process)と呼ばれる.
強度関数が最後のスパイクの時刻
にのみ依存する場合,
となる.リニューアル過程はこのタイプのひとつで,条件付強度関数とISI分布の間に
条件付強度関数が与えられた下で,次のスパイクが生じるまでの時間を数値計算したい.このためにはスパイク間隔の密度分布に従う乱数を発生させればよい[,,Johnson, 1996,Brown et al., 2001].
を一様乱数とする.累積分布関数を考えると,1.23からハザード関数を用いて
とすると
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一般の点過程の尤度も非定常ポアソン過程と同様の方法で導出することができる.強度(瞬間スパイク生成率)が条件付き独立(conditionally independent)であるから,非定常ポアソン過程と同じように
と書ける.従って尤度は
となる.この式はまた
と書かれることもある.ここで
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スパイク発生が共変量の履歴に依存する場合など,強度関数が各種信号の過去の履歴にのみ依存するとき尤度関数は上記と同様の形で定式化することができる.多くの時系列点過程モデルはこの仮定に従うが,Neyman-Scottのクラスター点過程(Neyman-Scott cluster point process)モデルなど,このような仮定が成り立たない点過程も存在する.